단면 이차 모멘트

2019. 12. 30. 17:17

단면 이차 모멘트

단면의 성질 중 하나이다 (단면의 형상이 정해지면 정해지는 값이다.)

단면 이차 모멘트 (2nd moment of inertia, 2nd area moment)

단면의 관성모멘트(area moment of inertia)

라고 불린다. 주로 재료역학의 굽힘 문제를 푸는데 사용된다.

(굽힘에 대한 저항성을 나타낸다. 이 값이 클수록 잘 안 굽혀진다는 말.)

축에 대해서 정의가 되며 축이 바뀌면 값도 당연히 바뀐다 (아래에 평행축 정리 이용).

정의

x축에 대한 단면 이차 모멘트 $I_{x}=\iint \limits _{R}y^{2}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

여기서 dx dy = dA

주의 : x축에대한 단면 이차 모멘트를 구할 때는 y^2 을 면적에 대해 적분해야 한다! (축을 헥갈리지 말자)

위 수식에서 알 수 있듯이 단위는 길이를 네번 곱한 것이다. (예를 들어 m^4, mm^4, inch^4 ...)

예제1 (사각형 단면)

높이 h, 너비 b 인 사각형 단면의 x 축 및 y 축에 대한 단면 이차 모멘트

${\begin{aligned}I_{x}&=\iint \limits _{R}y^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,\mathrm {d} x={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint \limits _{R}x^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}hx^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {b^{3}h}{12}}\end{aligned}}$