후크의 법칙 (Hook's law)

2019. 1. 3. 13:52

후크의 법칙 (Hook's law)

쉽게 말해 용수철과 같은 탄성체 (댕기면 늘어나고 누르면 압축되는) 가 변형되는 원리를 나타내는 식이다.

적용 대상물의 종류에 따라 식이 바뀌게 된다.

용수철과 같은 탄성체의 경우

용수철은 식이 간단하다. 더 세게 당길수록 (작용하는 힘 Fs가 커질수록) 많이 늘어난다 (변형하는 정도인 x가 커진다).

$F_{s}=kx$

$x={\frac {F_{s}}{k}}$

여기서 k는 스프링 상수이다.

아래 그림에서 빨간선이 이론적인 후크의 법칙을 나타내며 검은색 선이 실제 현상이다.

후크의 법칙은 Fs를 작용하는 힘이 아닌 복원력으로 표현하면 아래와 같다.

$F_{s}=-kx$

연속체인 탄성체의 경우 (1차원)

(일반적인 구조물, 정역학)

아래 에서 E는 탄성계수 (elastic modulus) 이다.

$\sigma =E\varepsilon$

응력 $\sigma ={\frac {F}{A}}\,,$ 변형율 $\varepsilon = \frac{\Delta L}{L}$

변형율 $\varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}={\frac {F}{AE}}\,.$

길이 변화 $\Delta L=\varepsilon L={\frac {FL}{AE}}\,.$

연속체인 탄성체의 경우 (3차원)

3차원 연속체는 아래와 같다.

${\boldsymbol {\sigma }}=-\mathbf {c} {\boldsymbol {\varepsilon }},$ $\sigma _{ij}=-\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}$

${\boldsymbol {\varepsilon }}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}$

$i, j = 1,2,3$ .

연속체인 탄성체의 경우 (3차원, 등방성 재질*)

* 우리가 알고 있는 대부분의 재질은 등방성이다. 등방성은 방향에 따라 재질 특성이 동일하다는 의미이다.

${\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)$

연속체인 탄성체의 경우 (평면응력, 등방성 재질*)

${\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left((1-\nu ){\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}\end{bmatrix}}+\nu \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}\right)\right)$

참고문헌

https://en.wikipedia.org/wiki/Hooke%27s_law

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