Fast Fourier transform (FFT, 고속 푸리에르 변환)
주기성과 대칭성을 이용하여 이산 푸리에 변환 (discrete Fourier transform, DFT)과 그 역변환을 빠르게 수행하는 알고리즘이다.
일반적으로 사용되는 FFT 알고리즘은 쿨리-튜키 알고리즘(Cooley-Tukey algorithm) 이다. 주로 디지털 신호 처리에 사용한다.
쉽게 말해 DFT를 어떤 알고리즘을 써서 빨리 계산해주는게 FFT 이다.
DFT (discrete Fourier transform)
DFT란 이산화된 시간 영역의 데이터를 이산화된 주파수 영역으로 변환해주는 알고리즘이다. 쉽게 말해 디지털 신호를 디지털 주파수 로 바꾸어주는 것이다. 현대의 대부분의 신호처리는 디지털로 하니까 이게 중요하고 자주 나오는 것이다.
* 참고로 DFT는 DTFT (discrete-time Fourier transform) 와는 다르다. DTFT는 이산화된 시간영역의 데이터를 연속된 주파수 영역으로 변환해주는 방법이다.
이 복소수라고 가정할 때, DFT는 다음과 같이 정의된다. (복소수라 하니 머리가 아파온다.)
DFT의 결과를 보면 입력 시간 영역의 데이터 x_k라 해도 출력 값은 복소수라는 점이다. 복소수는 실수값과 허수값이 있으므로 2 종류의 데이터가 있는데 이를 수식으로 변환하면 우리 머리에서 이해할 수 있는 진폭과 위상으로 변환할 수 있다.
FFT 결과 예시
아래는 FFT 결과를 나타낸다. 빨간색 신호를 FFT를 하면 파란색 신호가 된다.
빨간색 신호는 시간에 따른 진폭을 나타내며 10, 20, 30, 40, 50 Hz의 조화 진동 신호가 동일 위상으로 중첩되어 있다.
변환된 파란색 신호는 주파수에 따른 진폭을 나타낸다. 이처럼 FFT는 시간 영역의 신호를 주파수 영역으로 변환해주는 역할을 한다.
자주 사용되는 용어들과 특징
fs (sampling frequency or sampling rate)
1초에 측정되는 데이터의 개수이다. 0.1 초 간격으로 데이터를 측정하면 10 Hz가 샘플링 주파수 fs가 된다. fs는 FFT 결과에서 최대 주파수를 정한다. fs가 10 Hz 이면 0~5 Hz 의 결과와 5~10 Hz의 결과가 동일하여 0~5 Hz의 결과만 보면 된다. fs의 반 5Hz 를 Nyquist 주파수라고 한다. 이렇게 FFT 결과는 나이키스트 주파수에 대해서 대칭성을 가지게 된다.
fr (frequency resolution)
FFT 결과에서 주파수 사이의 간격이다. fs가 작을 수록 정확한 결과를 볼 수 있다 (TV 해상도와 유사한 개념이라고 보면 된다).
fr = fs / N = fs / 데이터 개수 = 1 / 샘플링 총 시간
데이터의 개수가 많을 수록 fr이 작아지고 보다 정확한 결과를 볼 수 있다. 아래 그림의 예를 보면 동일한 샘플링 주파수의 신호를 3 주기, 6 주기, 9 주기에 대하여 FFT 한 결과를 나타낸다. 주기가 길어질수록 (데이터의 개수가 많아질수록) fr이 작아지는 것을 알 수 있다. 그리고 중심 주파수에 대하여 대칭성도 알 수 있다. 매우 중요한 사실은 샘플링 총 시간이 길어지면 진폭 최대값이 증가한다는 것이다 (중요하니 꼭 기억하자!!!!!!!!!!). 더 특이한 현상은 아래 신호처럼 여러 주파수가 섞여 있는 현상에서만 발생하고 단일 조화 진동 현상에서는 발생하지 않는다는 것이다. 이것이 FFT의 한계이고 이를 극복한 것이 바로 PSD 이다. 즉 여러 주파수가 섞여있는 신호에서 FFT 결과를 비교할 때는 fr을 같게 해서 보아야 정확한 비교가 된다.
참고문헌
http://www.phys.nsu.ru/cherk/fft.pdf
https://kr.mathworks.com/help/matlab/ref/fft.html
강추!! 영어라 함정
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