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엔트로피 증가량 계산식


이상기체 ($ Pv = RT$)의 등엔트로피 과정의 엔트로피 변화


열역학 1/2법칙과 단열 과정을 가정하면 엔트로피 변화량은 아래와 같이 구해진다.


$\displaystyle \frac{P_2v_2^\gamma}{P_1 v_1^\gamma}=\left[Pv^\gamma\right]^2_1=e^{\Delta s/c_v}.$


위 식에서 가역 과정 ($ \Delta s =0$) 을 가정하면 $ Pv^\gamma = \textrm{constant}$가 된다. 


즉, 단열, 가역과정이 등엔트로피 (isentropic) 과정이다.




두 열원 사이의 열전달 과정의 엔트로피 변화



아래 그림과 같이 TH의 열원에서 TL열원으로 Q의 열량이 이동하는 과정에서 (일은 하지 않는다고 가정)


Image fig2tworeservoirs_web


엔트로피 변화량은 TH열원 입장에서는 열이 -, TL 열원 입장에서는 열이 + 이다.


$\displaystyle \Delta S = \left(\frac{-Q}{T_H}\right) + \left(\frac{Q}{T_L}\right) = \frac{Q}{T_H T_L}(T_H-T_L).$



참고 문헌


https://web.mit.edu/16.unified/www/FALL/thermodynamics/notes/node41.html









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열역학 1법칙과 2법칙의 결합


1법칙과 2법칙 수식을 결합하면 유용한 수식을 만들 수 있다.



1법칙 (항상 가능)


$\displaystyle dU =dQ -dW.$


가역 과정에서 가능한 수식


$\displaystyle dW=PdV,$

$\displaystyle dQ=TdS.$

$\displaystyle dU=dQ-\underline{PdV}, \textrm{ substituted for a reversible }dW$

$\displaystyle dU=\underline{TdS}-dW, \textrm{ substituted for a reversible }dQ.$


1법칙과 2법칙 결합 (항상 가능한 수식, Gibbs 식이라고도 한다)


$\displaystyle du =Tds -Pdv \qquad\textbf{Combined first and second law (a) or Gibbs equation (a).}$


$\displaystyle dh$$\displaystyle =Tds + vdP.$ (엔탈피 형태로 표현)



참고문헌


https://web.mit.edu/16.unified/www/FALL/thermodynamics/notes/node39.html







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열역학 제2법칙 (2nd law of thermodynamics)


고립된 계의 엔트로피는 감소하지 않는다는 법칙이다. 응? 


우주를 고립계로 보고 결국 우주는 열평형 상태에 다다르고 일을 할 수 있는 에너지가 없어 멸망한다는 우주 멸망 예측의 무시무시한 법칙이다.



서술


열역학 제2법칙은 아래과 같이 설명되는데 모두 같은 얘기다. 읽어보면 너무 당연한 얘기이다.



켈빈-플랑크의 서술


열을 모두 일로 바꾸는 과정은 불가능하다.


* 열효율이 100% 인 뜨거워지지 않는 엔진이 불가능하다.


* 아래 그림과 같은 과정이 불가능하다는 것이다. 즉 열의 일부는 T1 열원으로 가야한다는 것이다.


Image fig2notpossiblekp



클라우지우스의 서술


저온에서 고온으로는 열이 이동하는 것은 불가능하다.


* 아래 그림에서 T1 < T2 일 때, 아래와 같은 과정은 불가능하다.


Image fig2notpossible_web



엔트로피 (entropy)


         열역학 제2법칙에서는 엔트로피라는 새로운 개념이 등장한다. 두둥


엔트로피는 시스템의 열역학적 특성 중의 하나로 가역 과정에서 다음과 같이 정의된다.


$\displaystyle dS = (dQ_\textrm{reversible})/T.$


열역학 제2법칙은 아래와 같이 표현된다. 


$\displaystyle \Delta S_\textrm{total} \geq 0.$


* 가역 과정일 경우에는 0이 된다.



엔트로피의 특성


시스템의 2개의 변수만 알면 구해질 수 있다. 예) $ s = s(T,v)$ 혹은 $ s = s(T,v)$ 혹은 $ s = s(p,v)$


엔트로피 S의 단위는 J/K 이고 단위 질량당 엔트로피 s의 단위는 J/K-kg 이다.



엔트로피 변화량 식 $ dS = dQ_\textrm{rev}/T$에서 Q는 온도가 높은 열원의 열량이며 T는 온도가 낮은 열원의 온도이다.



참고문헌


https://web.mit.edu/16.unified/www/FALL/thermodynamics/notes/node37.html








 

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카르노 싸이클 (Carnot cycle)


카르노라는 아저씨가 제안한 이론적인 (이상적인) 싸이클이다.


이 싸이클의 효율은 열역학적 엔진 효율의 최고점이 된다 (=어떠한 엔진도 이보다 효율이 좋을 순 없다).





프로세스


Image fig1CarnotCycle_web

* T2 > T1


4개의 프로세스 (두개의 단열 가역 + 두개의 등온 가역) 로 구성된다.


위 오른쪽 그림은 카르노 싸이클을 열탱크가 붙어있는 피스톤 (내부에는 이상기체) 에 적용한 그림이다. 



a -> b -> c -> d


1. 등온 과정 (온도 T2, Q2 > 0) : a -> b


열탱크로부터 피스톤으로 열 Q2가 전달되는 과정에서 내부 기체의 온도가 일정하게 T2으로 유지되며 압력이 감소하고 부피는 증가하는 과정 



2. 단열 과정 (Q=0) : b (T2) -> c (T1)


열적으로 차단된 상태 (단열) 에서 온도가 낮아지면서 압력이 낮아지고 부피는 팽창하는 과정


(위의 등온 과정과 달리 열이 공급되지 않는 단열 과정이며 온도가 낮아지게 된다.)



3. 등온 과정 (온도 T1, Q1 < 0) : c -> d


열탱크로 열이 유출되는 과정에서 내부 기체의 온도가 일정하게 T1으로 유지되며 압력이 증가하고 부피는 감소하는 과정


(위의 1. 등온 과정의 역과정)



4. 단열 과정 (Q=0) : d (T1) -> a (T2)


열적으로 차단된 상태 (단열) 에서 온도가 높아지면서 압력이 증가하고 부피는 감소하는 과정


(위의 2. 단열 과정의 역과정)




효율


$\displaystyle \eta = 1 - \frac{T_1}{T_2}.\qquad\textbf{Carnot cycle efficiency.}$


* 위 식의 유도 과정


열적 효율식 $\displaystyle \eta = 1 - \frac{Q_R}{Q_A}=1+\frac{Q_1}{Q_2}.$ 에서 

$\displaystyle Q_2 = W_{ab} =N\mathbf{R}T_2 [\ln({V_b}/{V_a})],$

$\displaystyle Q_1 = W_{cd} =N\mathbf{R}T_1 [\ln({V_d}/{V_c})] = -N\mathbf{R}T_1 [\ln({V_c}/{V_d})].\quad \textrm{ ($Q_1$ is negative.)}$ 


을 적용하면


$\displaystyle \eta = 1+ \frac{T_1[\ln(V_d /V_c)]}{T_2[\ln(V_b /V_a)]}.$


단열 가역 과정식 $ PV^\gamma= \textrm{constant}$ 혹은 $ T V^{\gamma-1} = \textrm{constant}$를 적용하면 


$\displaystyle \left(\frac{V_d}{V_c}\right)^{\gamma-1} = \frac{(T_2/T_1)}{(T_2/T... ...right)^{\gamma-1},\textrm{ which means that } \frac{V_d}{V_c}=\frac{V_a}{V_b}. $


위의 두 효율식과 위 부피식을 연계하면 $\displaystyle \frac{Q_1}{T_1}+\frac{Q_2}{T_2}= 0.$

결과적으로 위식을 처음 열적 효율식에 대입하면 $\displaystyle \eta = 1 - \frac{T_1}{T_2}.\qquad\textbf{Carnot cycle efficiency.}$



참고문헌



https://web.mit.edu/16.unified/www/FALL/thermodynamics/notes/node24.html



https://en.wikipedia.org/wiki/Carnot_cycle











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이상 기체의 가역 단열 변화 (reversible adiabatic process for an ideal gas)




$\displaystyle \frac{p_2}{p_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{\gamma}{\ga... ...uad \textrm{and} \quad \frac{T_2}{T_1} =\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{\gamma-1}$


혹은


$\displaystyle pv^\gamma = \textrm{constant, or}$




식의 유도 과정


열역학 1법칙에서 


$ Q=0$, $ du = c_v dT$, $ \textrm{Work} = pdv$ 이므로 

$\displaystyle du + pdv = 0.$-> $\displaystyle \gamma c_v dT = -\gamma pdv$


엔탈피의 정의를 이용하면


$\displaystyle dh = \underline{du + pdv} + vdp.$->$\displaystyle c_p dT = vdp.$

* 밑줄친 부분이 0 이므로



두 식을 연계하면


$\displaystyle -\gamma pdv = vdp\quad \textrm{ or }\quad -\gamma dv/v = dp/p.$ 

적분하면$\displaystyle -\gamma ln(v_2/v_1) = ln(p_2/p_1)\textrm{, or, equivalently,}$$\displaystyle (p_2 v_2^\gamma)/(p_1 v_1^\gamma)=1.$

이상기체 방정식을 적용하면 맨 위의 식이 나온다.






참고문헌


https://web.mit.edu/16.unified/www/FALL/thermodynamics/notes/node18.html









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