[공학나라] 기계 공학 기술정보

레이놀즈 수 (Reynolds number)

2020. 1. 23. 15:37

레이놀즈 수(Reynolds number)

유체 역학에서 가장 많이 쓰이는 무차원 수로 물리적인 의미는 관성력/점성력 이다. 보통 흐름이 층류인지 난류인지를 판별하는데 사용된다.

아래에 설명할 레이놀즈 수를 포함하는 유동의 상사성을 이용하여 작은 모형에 대한 시험을 통해 보단 큰 실제적인 구조물 (예를 들면 비행기)의 흐름을 이해하는데 사용된다.

정의

${\mathit {Re}}={\rho v_{{s}}^{2}/L \over \mu v_{{s}}/L^{2}}={\rho v_{{s}}L \over \mu }={v_{{s}}L \over \nu }={\frac {{\mbox{Inertial forces}}}{{\mbox{Viscous forces}}}}$

$v_{s}$ : 유동의 평균 속도

$L$ : 특성 길이(characteristic length)

$\mu$ : 유체의 점성 계수(Dynamic Viscosity)

$\nu$ 유체의 동점성 계수(Kinematic Viscosity)

$\rho$ : 유체의 밀도

* 특성길이는 형상에 따라 달라지는데 원형 파이프에서는 파이프의 내경, 평판 위의 유동의 경우는 평판의 길이가 된다.

외우기 쉽게 만 알아도 된다.

임계 레이놀즈 수(critical Reynolds number)

유동이 층류에서 난류로 천이(transition)되는 지점에서의 레이놀즈 수. 실제로 이러한 천이는 점차적으로 진행이 되기 때문에 임계 레이놀즈 수의 값은 대략적인 값으로 보아야 한다.

층류 (laminar flow) : Re < 2000

천이영역 (transient flow) : 2000 < Re < 4000

난류 (turbulent flow) : 4000 < Re

물리적으로는 점성력에 비해 관성력이 클수록 난류가 된다.

유동의 상사성

두 유동이 상사(similarity) 이기 위해서는

동일한 기하학적 형상 (전체적인 크기는 달라도 된다. 예를 들면 삼각형이면 똑같은 scale down된 삼각형)

동일한 Re와 Eu (오일러 수, Euler No.)

참고문헌

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A0%88%EC%9D%B4%EB%86%80%EC%A6%88_%EC%88%98

https://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_number

'이론' 카테고리의 다른 글

경계층 두께 (Boundary layer thickness) (0)	2020.01.23
음속 (Speed of sound) (0)	2020.01.23
뉴턴의 점성 법칙 (Newton’s law of viscosity) (0)	2020.01.22
표면 장력 (surface tension) (0)	2020.01.22
직관의 압력 혹은 수두 손실 (Darch-Weisbach equation, 다시-바이스바흐 식) (1)	2020.01.22

뉴턴의 점성 법칙 (Newton’s law of viscosity)

2020. 1. 22. 17:17

뉴턴의 점성 법칙 (Newton’s law of viscosity)

정의

예를 들어 아래 그림과 같이 아래 판(빨간색 boundary plate)이 고정된 상태에서 위쪽의 파란색 판 (파란색 boundary plate)이 속도 u로 움직인다고 생각해보자. 아래 판에서의 유체의 속도는 0이 되고 위판에서의 유체의 속도는 u가 된다. 그 사이에 유체속도는 검은색 화살표와 같이 되며 판을 움직이기 위한 단위 면적당 힘 (전단 응력) 을 τ라고 하자.

( 실제 속도 구배 는 직선은 아니고 아래 그림처럼 곡선의 형태이다. )

뉴턴의 점성법칙 수식

τ : 전단 응력 (shear stress)

μ : 점성계수 (viscosity); 압력 및 온도의 함수

: 전단 변형율

위와 같이 전단 변형율이 전단 응력에 정비례하는 유체를 뉴턴 유체 (Newtonian fluid) 라고 한다. 우리가 일반적으로 알고 있는 물이나 공기와 같은 것이 뉴턴 유체이다. 아래 그림에서 왼쪽이 점성계수가 작고 오른쪽이 점성계수가 큰 유체이다.

비뉴턴 유체 (Non-newtonian fluid)

(압력과 온도가 일정할 경우) 뉴턴 유체는 점성계수가 상수인데 반해 속도구배에 따라 변하는 점성계수를 가지는 경우에 비뉴턴 유체 (Non-newtonian fluid) 라고 한다.

대표적인 예로 벌꿀, 치약, 피, 샴푸 같은 것이 있다. 아래 그림을 보면 뉴턴 유체는 기울기가 일정한 직선형태 (파란색선) 이지만 비뉴턴 유체 (검은색 선)는 그렇지 않다.

점성계수의 단위 및 차원

τ 의 단위 (응력이므로 단위 면적당 힘) : N/m^2

y 의 단위 : m

v 의 단위 : m/s

이므로

점성계수의 단위는 N/m^2 x m x s/m = N s / m^2 = Pa s

점성계수의 차원은 N s^2 / m^2 -> F L^-2 T

아래는 물의 점성계수의 예이다.

물의 점성계수
Temperature (°C)	Viscosity (mPa·s)
10	1.3059
20	1.0016
30	0.79722
50	0.54652
70	0.40355
90	0.31417

동점성 계수 (kinematic viscosity)

동점성 계수는 점성계수를 밀도로 나눈값이다.

동점성계수의 단위는 (N s / m^2) / (kg / m^3) = m^2 / s

* F=ma 를 이용하면 N 단위 => kg m / s^2 단위와 같다.

동성계수의 차원은 m^2 / s-> L^2 T^-1

표준 대기압 ( 25 도씨, 1 bar )에서 공기의 동점성 계수는 18.5 μPa·s 이며 대략 동일 온도의 물보다 약 50배 정도 작다.

참고문헌

https://en.wikipedia.org/wiki/Non-Newtonian_fluid

https://en.wikipedia.org/wiki/Newtonian_fluid

https://en.wikipedia.org/wiki/Viscosity

'이론' 카테고리의 다른 글

음속 (Speed of sound) (0)	2020.01.23
레이놀즈 수 (Reynolds number) (0)	2020.01.23
표면 장력 (surface tension) (0)	2020.01.22
직관의 압력 혹은 수두 손실 (Darch-Weisbach equation, 다시-바이스바흐 식) (1)	2020.01.22
극관성모멘트(polar moment of inertia) (0)	2020.01.20

표면 장력 (surface tension)

2020. 1. 22. 14:17

표면 장력 (surface tension)

액체의 표면은 응집 (cohesion)으로 인해 서로 당기는 힘이 발생하는데 이를 표면 장력 (surface tension) 이라 한다.

액체의 표면이 서로 당기게 되므로 결과적으로 표면이 가장 작아지는 형상이 되는데 예로 무중력 상태 (혹은 자유 낙하중인) 의 물방울의 형상이 원형이 된다.

다른 대표적인 예로 소금쟁이가 물에 떠다니는 현상이 있다.

여기서는 역학적으로 분석을 해본다.

비누방울과 물방울의 예

비누방울에서 내부의 압력이 외부의 압력보다 높으므로 비누방울은 팽창하려하고 표면 장력은 이를 지지한다.

아래의 반구에서 실선에 작용하는 힘은

압력차에 의해 밀어내는 힘 = π r^2 (Pi - Po)

표면 장력에 의해 당기는 힘 = 2T x 2πr

T : ( 단위 길이당 ) 표면 장력 (예로 mN/m, 미리뉴턴 퍼 미터)

* 비누방울은 내부가 비어있으므로 표면 장력이 내측과 외측 모두 작용하여 2를 곱한다.

위 두 힘이 같다고 하면

비누방울 (bubble) 의 경우

π r^2 (Pi - Po) = 2T x 2πr

Pi - Po = 4T / r

물방울 (droplet) 의 경우는 표면장력이 외측만 작용하므로

π r^2 (Pi - Po) = T x 2πr

Pi - Po = 2T / r

표면 장력 표

표면 장력의 물질의 종류에 따라 다르며 아래와 같다.

다양한 액체의 표면 장력 (공기 중에서)
dyne/cm = mN/m
액체	온도 °C	표면 장력, γ
글리세롤	20	63
다이에틸 에테르	20	17.0
물	0	75.64
물	25	71.97
물	50	67.91
물	100	58.85
메탄올	20	22.6
수은	15	487
아세톤	20	23.7
아세트산	20	27.6
아세트산 (40.1%) + 물	30	40.68
아세트산 (10.0%) + 물	30	54.56
아이소프로판올	20	21.7
n-옥테인	20	21.8
염산 17.7M 수용액	20	65.95
염화나트륨 6.0M 수용액	20	82.55
에탄올	20	22.27
에탄올 (40%) + 물	25	29.63
에탄올 (11.1%) + 물	25	46.03
자당 (55%) + 물	20	76.45

참고문헌

https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_tension

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/surten2.html#c2

https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%91%9C%EB%A9%B4%EC%9E%A5%EB%A0%A5

'이론' 카테고리의 다른 글

레이놀즈 수 (Reynolds number) (0)	2020.01.23
뉴턴의 점성 법칙 (Newton’s law of viscosity) (0)	2020.01.22
직관의 압력 혹은 수두 손실 (Darch-Weisbach equation, 다시-바이스바흐 식) (1)	2020.01.22
극관성모멘트(polar moment of inertia) (0)	2020.01.20
중립축 (neutral axis)과 도심 (centroid) (0)	2019.12.12

직관의 압력 혹은 수두 손실 (Darch-Weisbach equation, 다시-바이스바흐 식)

2020. 1. 22. 11:15

직관의 압력 혹은 수두 손실 (Darch-Weisbach equation, 다시-바이스바흐 식)

단면적이 일정한 직관에서는 벽면 마찰에 의해 압력 (혹은 수두) 손실이 일어난다.

* 현실적으로 불가능하지만 마찰이 없다고 가정하면 압력의 손실이 없으며 직관에서의 압력은 일정하다.

* 수두는 압력을 밀도와 중력가속도로 나눈 값으로 단위는 길이이다 (압력의 또다른 표현이라 보면 된다).

$\Delta p=\rho g\,\Delta h,$

Δp : 압력 손실

ρ : 밀도

g : 중력가속도

Δh : 수두 손실

이러한 압력 손실을 계산하기 위한 시험식(시험적으로 얻어진 식) 이 다시-바이스바흐 식이다.

정의

수두 손실 형태로 나타내면

$S=f_{\text{D}}\cdot {\frac {L}{2g}}\cdot {\frac {{\langle v\rangle }^{2}}{D}}.$

f_D: 다시 마찰 계수 (흐름 계수라고도 한다)

S : 단위 길이당 수두의 손실 (길이를 길이로 나누므로 무차원 수) $S={\frac {\Delta h}{L}}={\frac {1}{\rho g}}\cdot {\frac {\Delta p}{L}},$

L : 직관의 길이

v : 유체의 속도

D : 직관의 수력 직경 (원형의 경우 내부 직경과 같음, 다른 형상의 경우 단면적 A에 대하여 $D \approx 2 \sqrt A /π)$

좀 더 이해하기 쉬운 단위 길이당 압력 손실의 형태로 나타내면

${\frac {\Delta p}{L}}=f_{\mathrm {D} }\cdot {\frac {\rho }{2}}\cdot {\frac {{\langle v\rangle }^{2}}{D}},$

다시 마찰 계수 f_D

다시 마찰 계수는 수력 직경, 관 표면의 거칠기, 동점성계수, 속도의 함수라서 사용하는데 주의가 필요하다. 이 값은 다양한 실험식이나 이미 알려진 차트로부터 구할 수 있다. 이 차트를 Moody diagram (무디 선도) 라고 한다.

층류 영역 (laminar regime, Re < 2000)

지름 D인 원형 직관에 대하여

$f_{\mathrm {D} }={\frac {64}{\mathrm {Re} }},$

Re : 레이놀즈 수 $\mathrm {Re} ={\frac {\rho }{\mu }}\langle v\rangle D={\frac {\langle v\rangle D}{\nu }},$

$\nu ={\frac {\mu }{\rho }}$ : 동점성 계수 (kinematic viscosity)

μ : 점성 계수

위 수식의 특징을 보면 층류에서는 수두의 손실은 파이프의 거칠기와 무관함을 알 수 있다.

천이 영역 (critical regime, 2000 < Re < 4000)

이 영역에서는 흐름이 비정상 (unsteady) 이기 때문에 적절한 수식이 없다.

난류 영역 (turbulent regime, 4000 < Re )

층류와 달리 난류에서는 레이놀즈 수 이외에도 파이프의 표면 거칠기를 고려해야 한다. 그리고 수식도 파이프 표면이 부드러운 경우와 거친 경우로 나뉘게 된다. 일반적인 규칙을 보면

4000 < Re < 1e8 에서는 0.006 < fD < 0.06 정도 된다.

부드러운 표면의 파이프의 마찰 손실은 상대적으로 표면 거칠기에 덜 민감하다.

거친 표면의 경우 마찰 손실은 주로 거칠기에따라 변하며 레이놀즈 수에 민감하지 않다.

참고문헌

https://en.wikipedia.org/wiki/Darcy%E2%80%93Weisbach_equation

https://en.wikipedia.org/wiki/Friction_loss

'이론' 카테고리의 다른 글

뉴턴의 점성 법칙 (Newton’s law of viscosity) (0)	2020.01.22
표면 장력 (surface tension) (0)	2020.01.22
극관성모멘트(polar moment of inertia) (0)	2020.01.20
중립축 (neutral axis)과 도심 (centroid) (0)	2019.12.12
보의 굽힘 (beam bending) 에 의한 응력 (0)	2019.12.12

극관성모멘트(polar moment of inertia)

2020. 1. 20. 19:35

극관성모멘트(polar moment of inertia)

비틀림에 대한 저항값. 이 값이 크면 토크에 대해 비틀림 양이 적고 적으면 비틀림 양이 크다. 단면 형상의 함수이며 재질과는 무관하다.

*면적 이차 극 모멘트 (second polar moment of area) 라고도 한다.

비틀림 상수 Jt와는 약간 다르다. 원형 단면인 경우에 비틀림 상수는 극관성 모멘트가 된다. 그러나 원형단면이 아니어서 와핑 (warping)과 같이 단면을 벋어나는 변형 (out-of-plane) 이 있는 경우에는 비틀림 상수는 극관성모멘트와 다르다 (그냥 비틀림 상수값을 구하거나 구해진 값을 사용해야 한다).

정의

$I_{p}=\int _{A}^{}\rho ^{2}dA$

Ip : 원점 O에 대한 극관성모멘트 (J 나 Jz 로도 표시한다)

dA : 미소 면적

ρ : 원점 O에서 dA 까지의 거리

* 단위 : 길이의 4승 (위 수식을 보면 길이의 제곱에 면적을 곱하기 때문이다.)

예시

반경 r 인 원의 원의 중심에 대한 극관성 모멘트 : $I_{p}=\int \rho ^{2}dA=\int _{0}^{r}2\pi \rho ^{3}d\rho ={\frac {\pi r^{4}}{2}}$

단면 이차 모멘트와의 관계

$\rho ^{2}={x^{2}}+{y^{2}}$ 이므로

$I_{p}=\int _{A}^{}(x^{2}+y^{2})dA=\int _{A}^{}x^{2}dA+\int _{A}^{}y^{2}dA=I_{y}+I_{x}$

Ix : x 축에 대한 단면 이차 모멘트

Iy : y 축에 대한 단면 이차 모멘트

참고문헌

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B7%B9%EA%B4%80%EC%84%B1%EB%AA%A8%EB%A9%98%ED%8A%B8

https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_moment_of_inertia#cite_note-ugural-1

'이론' 카테고리의 다른 글

표면 장력 (surface tension) (0)	2020.01.22
직관의 압력 혹은 수두 손실 (Darch-Weisbach equation, 다시-바이스바흐 식) (1)	2020.01.22
중립축 (neutral axis)과 도심 (centroid) (0)	2019.12.12
보의 굽힘 (beam bending) 에 의한 응력 (0)	2019.12.12
토출 계수 (Discharge coefficient) (0)	2019.12.11

PREV 1 ···22 23 24 25 26 27 28 ···101 NEXT

[공학나라] 기계 공학 기술정보

레이놀즈 수 (Reynolds number)

'이론' 카테고리의 다른 글

뉴턴의 점성 법칙 (Newton’s law of viscosity)

'이론' 카테고리의 다른 글

표면 장력 (surface tension)

'이론' 카테고리의 다른 글

직관의 압력 혹은 수두 손실 (Darch-Weisbach equation, 다시-바이스바흐 식)

'이론' 카테고리의 다른 글

극관성모멘트(polar moment of inertia)

'이론' 카테고리의 다른 글

+ Recent posts

티스토리툴바