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토출 계수 (Discharge coefficient)

2019. 12. 11. 18:04

토출 계수 (Discharge coefficient)

노즐이나 오리피스와 같은 흐름 제한 장치에서 실제 유량과 이론적 유량의 비율이다 (무차원 수).

이론적 유량이란 베르누이 정리를 적용할 수 있는 손실이 없는 유동을 말한다.

실제 유동은 압력 손실이 있기 때문에 이론 유량은 실제 유량보다 작게되고 토출 계수값은 1보다 작게 된다.

( 1에 가까울수록 압력 손실이 적어진다는 말)

$C_{\text{d}}={\frac {Q_{\text{exp}}}{Q_{\text{theo}}}}$

Cd : 토출 계수

Qexp : 실제 질유량

Qtheo : 이론적 질유량

일정한 단면적을 가지는 파이프에서 아래와 같이 표현된다.

$C_{\text{d}}={\frac {\dot {m}}{\rho {\dot {V}}}}={\frac {\dot {m}}{\rho Au}}={\frac {\dot {m}}{\rho A{\sqrt {\frac {2\Delta P}{\rho }}}}}={\frac {\dot {m}}{A{\sqrt {2\rho \Delta P}}}}$

$u$ : 유체의 속도

$\Delta P$ : 노즐이나 오리피스의 압력강하

흐름저항과의 관계

이 값은 흐름 저항 k (무차원 수)와 아래와 같은 관계가 있다.

$k={\frac {1}{C_{\text{d}}^{2}}}$

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오리피스 (orifice) 이론

2019. 12. 11. 17:02

오리피스 (orifice) 이론

개요

오리피스는 구멍이 뚫린 얇은 판으로 보통 파이프나 튜빙 내부에 설치된다.

아래 그림에서 직경 d2의 구멍을 가지는 판이다. 유량 측정, 압력 강하, 흐름 제한의 목적으로 사용된다.

베르누이 정리로 설명할 수 있는 벤튜리 노즐 (Venturi Nozzle)의 원리와 같다. (자세히 보면 수식은 다르다.)

유량 측정

오리피스가 설치된 배관에서 질량 유량은 아래와 같이 계산될 수 있다.

$q_{m}={\frac {C_{d}}{\sqrt {1-\beta ^{4}}}}\;\epsilon \;{\frac {\pi }{4}}\;d^{2}\;{\sqrt {{2\Delta p}{*\rho _{1}}\;}}$

$C_{d}$ : 토출 계수 (discharge coeffecient) 로 오리피스 형상과 탭 (압력 측정 위치)에 따라 달라진다.

$\beta$ : 오리피스 직경/배관 직경

$\epsilon$ : 팽창 팩터, 비압축성의 경우는 1

d : 오리피스 구멍 직경

$\rho _{1}$ : 상류의 밀도

$\Delta p$ : "측정된" 오리피스 전/후의 압력 차이

유량 측정의 목적으로 사용되는 경우에 이미 많이 나와있는 표준에 따라 설치하고 표준에 나와있는 수식을 이용하면 구해질 수 있다. 보통 오리피스는 날카로운 모서리를 가지는 형태로 제작되며 파이프와 오리피스가 같은 동심축에 놓게 설치된다. 탭핑 (압력의 측정 위치) 은 표준에 따라서 바뀌는데 토출계수가 바뀌게 된다. 탭핑은 코너 탭, D와 D/2탭, 플랜지 탭이 있다.

압력 손실

오리피스를 지나면 전체 압력 손실이 발생하는데 아래 수식은 ISO 5167 표준에 따른 수식이다.

${\frac {\Delta {\bar \omega }}{\Delta p}}=1-\beta ^{{1.9}}$ 혹은 ${\frac {\Delta {\bar \omega }}{\Delta p}}={\frac {{\sqrt {1-\beta ^{4}(1-C^{2})}}-C\beta ^{2}}{{\sqrt {1-\beta ^{4}(1-C^{2})}}+C\beta ^{2}}}$

$\Delta {\bar \omega }$ : 전체 압력 손실

ISO 5167에 따른 유량 계산

ISO 5167에 따르면 규정에 따라 제작 및 설치를 하면 별도의 장치 (유량계) 를 이용한 보정없이 유량을 계산할 수 있다. 위 수식을 보면 다른 것들은 다 측정 가능한데 토출계수와 압축성 유동의 팽창 팩터는 계산해야 한다.

보통 날카로운 모서리를 가지는 경우 오리피스는 0.6~0.63 의 토출계수를 가진다. 팽창계수는 주로 측정된 전/후의 압력 차이의 함수이다. 이 말은 유량의 함수이기도 하다 (압력차이와 유량은 비례하므로). 특히 낮은 정압과 높은 차압에서 변화가 크다.

(미국과 유럽의 국가 및 산업 표준은 다른 수식을 사용하지만 배경 이론이 비슷해서 결과도 비슷하다)

아래 수식은 ISO 5167에 따른 표준으로 수식에 대한 거부감이 있으면 안봐도 된다.

토출 계수

날카로운 모서리의 오리피스에 대하여는

$C=0.5961+0.0261\beta ^{2}-0.216\beta ^{8}+0.000521{\bigg (}{\frac {10^{6}\beta }{Re_{D}}}{\bigg )}^{0.7}+(0.0188+0.0063A)\beta ^{3.5}{\bigg (}{\frac {10^{6}}{Re_{D}}}{\bigg )}^{0.3}+(0.043+0.080\exp(-10{L_{1}})-0.123\exp(-7{L_{1}}))(1-0.11A){\frac {\beta ^{4}}{1-\beta ^{4}}}-0.031(M'_{2}-0.8{M'_{2}}^{1.1})\beta ^{1.3}$

직경이 71.2 mm 보다 작은 경우는 아래 항이 더해진다.

$+0.011(0.75-\beta ){\bigg (}2.8-{\frac {D}{0.0254}}{\bigg )}$

여기서

$A={\bigg (}{\frac {19000\beta }{Re_{D}}}{\bigg )}^{{0.8}}$ , $M'_{2}={\frac {2L'_{2}}{1-\beta }}$

코너 탭핑의 경우는 $L_{1}=L'_{2}=0$

플랜지 탭핑의 경우는 $L_{1}=L'_{2}={\frac {0.0254}{D}}$

D와 D/2 탭핑의 경우는 $L_{1}=1$ ; $L'_{2}=0.47$ .

여기서

$Re_{D}$ = ${\frac {4q_{m}}{\pi \mu D}}$

$\kappa$ : 등엔프로피 지수, 종종 비열비로 근사화 한다.

$\mu$ : 동점성계수

팽창계수

날카로운 모서리 오리피스에 대하여

$p_{2}/p_{1}>0.75$ 이면 $\epsilon =1-(0.351+0.256\beta ^{4}+0.93\beta ^{8}){\bigg [}1-{\bigg (}{\frac {p_{2}}{p_{1}}}{\bigg )}^{{\frac {1}{\kappa }}}{\bigg ]}$

비압축성인 경우는 1

참고문헌

https://en.wikipedia.org/wiki/Orifice_plate

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베르누이 정리 (Bernoulli's principle)

2019. 12. 11. 15:43

베르누이 정리 (Bernoulli's principle)

비압축성 유동 (밀도가 일정함) 에서 유선을 따라 흐르는 유동은 다음을 만족한다.

(아래를 보면 다양한 형태의 수식이 있으나 다 같은 식으로 표현만 달리하는 수식이다.)

${\frac {v^{2}}{2}}+gz+{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}$

여기서

v : 속도

g : 중력가속도

z : 높이

p : 압력

rho : 밀도

constant : 일정함

베르누이 정리의 가정

정상상태 흐름 (steady flow)

비압축성 (incompressible flow) : 밀도 일정

점성에 의한 마찰은 무시할만함

위 수식은 밀도를 곱해서 아래와 같이 표현되기도 한다.

${\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gz+p={\text{constant}}$

혹은

$q+\rho gh=p_{0}+\rho gz={\text{constant}}$ (이 식은 잘 안쓴다.)

$q = 1 / 2 ρv 2$ : 동압
$h = z + p / ρg$ : 위치 수두 + 압력 수두
$p 0 = p + q$ : 정체압 혹은 총압 = 정압 + 동압

* 압력 수두라 하면 바닥면에서 압력을 발생시키는 액체의 기둥 높이로 이해하면 쉽다.

혹은 전수두 (에너지 수두) H 에 대하여 아래와 같이 나타내기도 한다.

H=z+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}=h+{\frac {v^{2}}{2g}},

(위 수식에서 높이가 일정하다면 높이 z와 관련된 항은 모두 사라진다.)

잘 이해가 안될테니 물리적으로 이해해 보자

{\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gz+p={\text{constant}}

이 수식에서 높이가 일정하다면 z와 관련된 항은 사라지고 속도가 증가하면 압력이 줄어들고 속도가 줄어들면 압력이 늘어난다는 이야기다 (이것이 바로 벤츄리 효과).

...

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벤츄리 효과 (Venturi effect)

2019. 12. 11. 15:22

벤츄리 효과

파이프 내부의 흐름에서 단면적이 좁은 영역을 지날 때 압력이 작아지는 효과이다. 연속 방정식과 베르누이의 정리로 설명될 수 있다. (이탈리아 물리학자 벤츄리 아재가 발견한 효과다.)

아래 그림에서 파이프 (단면적 A1 > A2) 내부를 흐르는 유동은 1점의 압력보다 2점의 압력이 낮다는 효과 (압력 p1 < p2) 이다. 1점보다 2점이 압력이 낮으니 물기둥 (액주계)의 높이가 2점이 더 낮다.

벤츄리 노즐은 아래 그림에서 단면적이 좁아졌다가 넓어지는 부분 까지를 말한다. 이 벤츄리 노즐을 이용해서 유량을 측정하기도 한다. 벤츄리 노즐의 특징을 잘보면 단면적이 서서히 변한다 (급격히 변화하면 웨이크 (wake) 가 생겨 유량 측정에 오류가 커지게 된다). 보통 입구각은 30도, 출구각은 5도 정도를 유지한다.

위 그림의 실사판

원리 (이론 설명)

연속 방정식을 적용하면 유량이 일정하므로 1점보다는 2점에서 속도가 빨라진다.

* 연속 방정식은 일종의 질량 보존 법칙으로 단면적 A1을 지나는 질량 유량 (질유량) 이 단면적 A2를 지나는 질유량과 같다는 것이다. 이를 수식으로 나타내면 밀도가 일정하다고 가정하고 부피의 연속 방정식 (부피 보전의 법칙) 을 적용하면 (속도 v, 부피 유량 Q)

A1 > A2 이므로 v1 < v2

좀 더 쉽게 설명하면 넓은 길에서 좁은 길로 사람들이 지나갈때 좁은 길에서는 좀 더 빨리 지나가야 한다는 것.

아래 그림을 보면 좀 더 쉽게 이해가 간다. 하얀색 입자를 보면 단면적이 좁은 곳에서 빨리 움직이는 것을 알 수 있다.

베르누이 정리를 적용하면

(베르누이 정리를 다시 간단히 설명하면 마찰이 없으면 "정압력 + 동압력"은 일정하다는 것이다.)

v1 < v2 이므로 p1 > p2 가 된다.

벤츄리 노즐의 이용

위 연속 방정식과 베르누이 정리 식을 연립해서 풀면 아래와 같은 수식이 나오는데 두 지점의 압력차, 단면적, 밀도를 알면 부피유량 Q를 구할 수 있다.

$Q=A_{1}{\sqrt {{\frac {2}{\rho }}\cdot {\frac {p_{1}-p_{2}}{\left({\frac {A_{1}}{A_{2}}}\right)^{2}-1}}}}=A_{2}{\sqrt {{\frac {2}{\rho }}\cdot {\frac {p_{1}-p_{2}}{1-\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{2}}}}}$

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