[공학나라] 기계 공학 기술정보

Fast Fourier transform (FFT, 고속 푸리에르 변환)

주기성과 대칭성을 이용하여 이산 푸리에 변환 (discrete Fourier transform, DFT)과 그 역변환을 빠르게 수행하는 알고리즘이다. 

일반적으로 사용되는 FFT 알고리즘은 쿨리-튜키 알고리즘(Cooley-Tukey algorithm) 이다. 주로 디지털 신호 처리에 사용한다. 

쉽게 말해 DFT를 어떤 알고리즘을 써서 빨리 계산해주는게 FFT 이다. 

DFT (discrete Fourier transform)

DFT란 이산화된 시간 영역의 데이터를 이산화된 주파수 영역으로 변환해주는 알고리즘이다. 쉽게 말해 디지털 신호를 디지털 주파수 로 바꾸어주는 것이다. 현대의 대부분의 신호처리는 디지털로 하니까 이게 중요하고 자주 나오는 것이다. 

* 참고로 DFT는 DTFT (discrete-time Fourier transform) 와는 다르다. DTFT는 이산화된 시간영역의 데이터를 연속된 주파수 영역으로 변환해주는 방법이다.

 이 복소수라고 가정할 때, DFT는 다음과 같이 정의된다. (복소수라 하니 머리가 아파온다.)

DFT의 결과를 보면 입력 시간 영역의 데이터 x_k라 해도 출력 값은 복소수라는 점이다. 복소수는 실수값과 허수값이 있으므로 2 종류의 데이터가 있는데 이를 수식으로 변환하면 우리 머리에서 이해할 수 있는 진폭과 위상으로 변환할 수 있다. 

FFT 결과 예시

아래는 FFT 결과를 나타낸다. 빨간색 신호를 FFT를 하면 파란색 신호가 된다.

빨간색 신호는 시간에 따른 진폭을 나타내며 10, 20, 30, 40, 50 Hz의 조화 진동 신호가 동일 위상으로 중첩되어 있다.

변환된 파란색 신호는 주파수에 따른 진폭을 나타낸다. 이처럼 FFT는 시간 영역의 신호를 주파수 영역으로 변환해주는 역할을 한다.  

자주 사용되는 용어들과 특징

fs (sampling frequency or sampling rate)

1초에 측정되는 데이터의 개수이다. 0.1 초 간격으로 데이터를 측정하면 10 Hz가 샘플링 주파수 fs가 된다. fs는 FFT 결과에서 최대 주파수를 정한다. fs가 10 Hz 이면 0~5 Hz 의 결과와 5~10 Hz의 결과가 동일하여 0~5 Hz의 결과만 보면 된다. fs의 반 5Hz 를  Nyquist 주파수라고 한다. 이렇게 FFT 결과는 나이키스트 주파수에 대해서 대칭성을 가지게 된다.

fr (frequency resolution)

FFT 결과에서 주파수 사이의 간격이다. fs가 작을 수록 정확한 결과를 볼 수 있다 (TV 해상도와 유사한 개념이라고 보면 된다). 

fr = fs / N = fs / 데이터 개수 = 1 / 샘플링 총 시간

데이터의 개수가 많을 수록 fr이 작아지고 보다 정확한 결과를 볼 수 있다. 아래 그림의 예를 보면 동일한 샘플링 주파수의 신호를 3 주기, 6 주기, 9 주기에 대하여 FFT 한 결과를 나타낸다. 주기가 길어질수록 (데이터의 개수가 많아질수록) fr이 작아지는 것을 알 수 있다. 그리고 중심 주파수에 대하여 대칭성도 알 수 있다. 매우 중요한 사실은 샘플링 총 시간이 길어지면 진폭 최대값이 증가한다는 것이다 (중요하니 꼭 기억하자!!!!!!!!!!).  더 특이한 현상은 아래 신호처럼 여러 주파수가 섞여 있는 현상에서만 발생하고 단일 조화 진동 현상에서는 발생하지 않는다는 것이다. 이것이 FFT의 한계이고 이를 극복한 것이 바로 PSD 이다. 즉 여러 주파수가 섞여있는 신호에서 FFT 결과를 비교할 때는 fr을 같게 해서 보아야 정확한 비교가 된다.

본 블로그에서 PSD 에 대해 알아보기

참고문헌

http://www.phys.nsu.ru/cherk/fft.pdf

https://kr.mathworks.com/help/matlab/ref/fft.html

강추!! 영어라 함정

https://community.plm.automation.siemens.com/t5/Testing-Knowledge-Base/What-is-the-Fourier-Transform/ta-p/553458

진동 이론 - 자유 진동 (free vibration)

(기계공학에서 진동의 이론적인 배경에 대하여)

위와 같은 1 자유도 (DOF, degree of freedom) 시스템의 자유 진동 (free vibration)의 운동 방정식은 아래와 같다.

(보통 아래와 같이 미분 방정식으로 표현된다.)

여기서

m : 질량

c : 감쇠

k : 강성

x : 변위

: 속도 (변위를 시간에 대하여 미분하면 속도가 된다)

: 가속도 (변위를 시간에 대하여 두번 미분하면 가속도가 된다)

자유 진동은 외력이 없이 물체 혼자 진동할 때의 움직임을 나타낸다. 

( 우측의 0 대신에 다른 항이 있으면 강제 진동 방정식이 된다.)

첫번째항은 우리가 잘 아는 뉴턴 형님의 관성의 법칙 (F=ma)에서 나온 관성력이다.

세번째항은 우리가 잘 아는 스프링의 힘 (F=kx, 후크의 법칙) 이다.

두번째항은 감쇠력으로 물체의 속도에 비례하는 항이다.

문위에 문이 꽝하고 닫히지 않게 댐퍼가 달려 있는 것을 볼 수 있는데 문을 빨리 닫을때 더 힘을 많이 써야한다.

두번째 항이 있는 경우는 감쇠 진동 (damped vibration) 이고 없으면 비감쇠 진동 (undamped vibration) 이다.

비감쇠 진동 (undamped vibration) 

진폭의 감소 없이 진동한다.

비감쇠 진동의 운동 방정식은 감쇠가 없으므로 (c=0) 아래와 같이 표현된다.

고유 진동수는 간단한 과정을 거쳐 아래와 같이 표현된다.

즉 비감쇠 고유 진동수 (undamped natural frequency) 는 

그냥 고유 진동수라고도 한다. 중요한 수식이니 꼭 외우자.

감쇠 진동 (damped vibration)

감쇠 진동은 감쇠값에 따라 또 다시 3가지도 나누어진다.

 는 critical damping 이라고 하며 질량과 강성으로 결정되는 특정 감쇠값이다.

underdamped (c < )

진폭이 점점 줄어들며 진동한다.

critically damped (c= )

더이상 진동하지 않게 되는 감쇠값

overdamped (c > )

여기서도 더 진동하지 않는다.

감쇠비 (damping ratio)

로 보통 표시하며 critical damping 대비 실제 감쇠의 비율이다. 감쇠비가 1이되면 critically damped 진동을 하게 된다. 1보다 크면 overdamped 가 되고 1보다 작으면 underdamped 가 된다. 

예를 들어 비행기 연료탱크, 엔진 크랭크 샤프트와 같은 금속 구조물은 보통 감쇠비가 0.05 이하이며 자동차 서스펜션 처럼 의도적으로 감쇠를 크게하는 구조물은 0.2~0.3 정도가 된다. 

감쇠 진동의 고유 진동수 (damped natural frequency)

감쇠 진동의 고유 진동수는 

비감쇠 진동의 고유 진동수에 비해 작다. 그러나 대부분의 시스템에서 감쇠비가 작아 거의 비슷하다. 

주파수 (frequency) 혹은 진동수

쉽게 말해 1초에 한 주기 (cycle)를 진동 하는 회수를 말한다. 기계공학 분야 중 하나인 진동 분야에 나오는 용어이지만 빛이나 전자기학에서도 사용된다. 

주로 1초에 진동하는 회수로 표현하며 이 때 단위는 Hz가 된다. 

Hz = /sec. (분자는 단위가 없고 분모는 초단위이다.)

예를 들어 1 Hz면 1초에 1번 진동, 10 Hz면 1초에 10번 진동한다. 

주파수는 보통 영문자 f 로 표시한다. 

간혹 rad/s로 표현하기도 하는데 1초에 1번 진동하면 2π rad/s, 1초에 10번 진동하면 20π rad/s 가 된다 (이렇게 되는 이유는 radian으로 표시하면 한 주기가 2π가 되기때문이다. 삼각함수를 생각해보면 쉽게 알 수 있다.) 이 경우에 주파수는 보통 그리스어 ω로 표시한다.

ω (rad/s) = 2π f 

회전수도 일종의 주파수로 볼 수 있는데 주로 분당 회전수인 RPM (rotation per minute) 으로 표현된다. RPM은 단위는 /minute 이며 초당 주파수 f 를 60 으로 곱하면 된다. 자동차 계기판에 있는 바로 그 RPM 수이다.

RPM (rpm) = 60 x f 

주파수와 주기 (period) 와의 관계

주기는 한번의 진동을 하는데 걸리는 시간(단위는 초이다)으로 주파수의 역수 이다.

T (seconds) = 1/f

주기 (초) = 1 / 주파수 (Hz)

아래 그림에서 

위쪽 빨간선이 주파수가 작고 (주기가 길고)

아래 보라색선으로 갈수록 주파수가 커진다 (주기가 짧다).

예시

아래 예시에서 

주파수가 0.5 Hz 이면 주기는 1/0.5 = 2 초

주파수가 1 Hz 이면 주기는 1/1 = 1 초

주파수가 2 Hz 이면 주기는 1/2 = 0.5 초

이다.

치수 검사 성적서 (dimensional inspection report)

가공 후에 제품이 도면대로 가공되었는지를 확인하는 성적서로 일종의 품질 보증 문서이다. 

치수 검사 성적서에서는 도면의 가공 공차에 맞게 가공되었는지 길이, 직경 등을 측정한다. 측정 장비는 3차원 측정 장비를 사용할 수도 있고 마이크로미터나 버니어캘리퍼스를 사용할 수 도 있다. 이러한 측정 등을 통하여 도면에 표기된 평행도, 진원도 등을 검사하기도 한다.

이외에도 조도 측정기를 이용하여 도면에 표기되어 있는데로 표면 조도가 나오는 여부도 확인한다.

<https://precast.org/2013/11/materials-certifications/>

금속 재질 성적서 

어떠한 금속 원소재를 구매하면 딸려오는 금속 산업 분야에서 사용되는 일종의 품질 보증 문서이다. 

최종 제품의 고객이 원소재가 제대로 구매된 것인지를 추적할 수도 있다. 

영어로는 mill test report (MTR) 이라고 하는데 별칭이 무지하게 많다. 아래는 다른 이름들...

certified mill test report, 

certified material test report

mill test certificate (MTC)

inspection certificate

certificate of test

주된 내용은 아래와 같은데 소재 회사마다 적는 내용이 다 다르다. 아래에서 굵은 글씨체는 꼭 적는다.

공급자

재질 규격명 (ASTM, ANSI 등)

재질 규격의 기계적 물성치 (항복 강도, 인장 강도, 연신율, ROA 등) 요구 기준 

재질 규격의 화학적 성분  (규격에 포함되어 있는 내용이다. 적어준다면 친절한 성적서이다.)

재질 규격의 열처리 방법 (규격에 포함되어 있는 내용이다.)

공급받은 소재를 직접 시험한 기계적 물성치 (당연히 규격의 요구조건을 만족한다. 보통 lot당 결과이다.)

소재 형태 (bar, billet, sheet 등)

크기

유럽산 소재 같은 경우는 대부분 EN10204에 따라 MTC가 작성된다.

참고문헌

https://en.wikipedia.org/wiki/Mill_test_report_(metals_industry)

https://precast.org/2013/11/materials-certifications/